Question

12．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥x轴于点C，四边形CDEF为正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，再设正方形CDEF的边长为a，利用BC⊥x轴和B点坐标可表示出D（1，a），根据正方形的性质可表示出E（1-a，a），接着把E（1-a，a）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2得到关于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可确定正方形CDEF的边长．

解答 解：把A（0，2），B（1，3）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-\frac{1}{2}+b+2=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1-a，a），
把E（1-a，a）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2得-$\frac{1}{2}$（1-a）²+$\frac{3}{2}$（1-a）+2=a，
整理得a²+3a-6=0，解得a₁=$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，a₂=$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
所以正方形CDEF的边长为$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$．
故答案为$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程．