Question

17．如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=$\frac{1}{2}$BC=CE，AF=$\frac{1}{2}$AD=CF，得出AE=CE=AF=CF，即可得出结论；
（2）连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC•EF，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=CE，
同理，AF=$\frac{1}{2}$AD=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=5，AB=$\sqrt{3}$AC=5$\sqrt{3}$，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=5$\sqrt{3}$，
∴菱形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．