Question

18．如图，PD为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，PE为∠DPB的角平分线，交AC于E，交BC于F，求证：∠EOF=90°．

Answer 1

分析 如图，过C作CQ∥AB，交PF的延长线于Q，交PD的延长线于R，证得CQ是⊙O的切线，根据切线长定理得到RC=RD，根据平行线和角平分线得到∠Q=∠DPQ，证得DP=CQ，通过△CEQ∽△AEP，△CQF∽△BFP，得到$\frac{AE}{EC}=\frac{PA}{CQ}$，$\frac{CF}{FB}=\frac{CQ}{PB}$，根据切割线定理得到PD²=PA•PB，化为$\frac{PA}{CQ}=\frac{CQ}{PB}$，等量代换得到$\frac{AE}{CE}=\frac{CF}{FB}$，根据合比性质得$\frac{AE}{AC}=\frac{CF}{BC}$，推出△AEO≌△OCF，即可得到结论．

解答 解：如图，过C作CQ∥AB，交PF的延长线于Q，交PD的延长线于R，
∵OC⊥AB，
∴CQ⊥OC，
∴CQ是⊙O的切线，
∴RC=RD，
∵CQ∥AB，
∴∠Q=∠DPQ，
∵∠DPQ=∠BPQ，
∴∠Q=∠DPQ，
∴DP=CQ，
∵CQ∥AB，
∴△CEQ∽△AEP，△CQF∽△BFP，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{PA}{CQ}$，$\frac{CF}{FB}=\frac{CQ}{PB}$，
∵PD²=PA•PB，
∴$\frac{PA}{CQ}=\frac{CQ}{PB}$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CF}{FB}$，
根据合比性质得$\frac{AE}{AC}=\frac{CF}{BC}$，
而AC=BC，
∴AE=CF，∠CAB=∠BCO=45°，
在△AEO与△OCF中$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△OCF，
∴∠AOE=∠COF，
∴∠AOE+∠EOC=∠FOC+∠EOC=90°，
∴∠EOF=90°．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．