Question

12．已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1，$\frac{1}{4}$）．
（1）求此函数的解析式；
（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和新抛物线于点M和N，且S_△PMN=$3\sqrt{2}$，求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意可直接设y=ax²把点（1，-3）代入得a=-3，所以y=-3x²；
（2）设平移后y=$\frac{1}{4}$x²+d（d＞0），则MN=d，根据题意得出S=$\frac{1}{2}$×2×d=3$\sqrt{2}$，即可求得d的值，从而求得平移后的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线顶点是原点，可设y=ax²，
把点A（1，$\frac{1}{4}$）代入，得a=，$\frac{1}{4}$，
所以这个二次函数的关系式为y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）设平移后y=$\frac{1}{4}$x²+d（d＞0），
∴MN=d，S=$\frac{1}{2}$×2×d=3$\sqrt{2}$，
∴d=3$\sqrt{2}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+3$\sqrt{2}$．

点评 主要考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法和平移的规律是解题的关键．