Question

12．小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．
探索理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；

尝试体验：
（2）如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
（3）如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1所示；根据邻等四边形的定义作出图形即可．
（2）如图2中，连接AC，作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，求出BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，HC=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=（2+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=7，分别求出△ABC，△ADC的面积即可解决问题．
（3）能．因为△ADC是等边三角形，所以可以将△BDC绕点D顺时针旋转60°得到△HDA，连接BH．由S_{四边形ABCD}=S_△ADH+S_△ABD=S_△DBH-S_△ABH，可知当△ABH面积最大时，四边形ABCD的面积最小，只要求出△ABH的面积的最大值即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

邻等四边形ABCD即为所求．

（2）如图2中，连接AC，作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵BC=1，∠CBH=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，HC=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=（2+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=7，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACB+S_△ADC=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

（3）能．如图3中，∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，将△BDC绕点D顺时针旋转60°得到△HDA，连接BH．

∵DB=DH，∠HDB=60°，
∴△HDB是等边三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ADH+S_△ABD=S_△DBH-S_△ABH，
∴当△ABH面积最大时，四边形ABCD的面积最小，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠DAH=360°-75°-60°=225°，
∴∠BAH=135°，
∵BH=DB=4，
∴点A在定圆⊙O上运动，当O、A、D共线时，△ABH的面积最大，此时OD⊥BH，设OA交BH于K，则HK=KB=2，
∵AH=AB，
∴∠AHB=∠ABH=22.5°，在HK上取一点F，使得FH=FA，则△AKF是等腰直角三角形，设AK=FK=x，则FH=AF=$\sqrt{2}$x，
∴2=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴△ABH的面积最大值=$\frac{1}{2}$•4•（2$\sqrt{2}$-2）=4$\sqrt{2}$-4，
∴四边形ABCD的面积的最小值=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-（4$\sqrt{2}$-4）=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理，30度直角三角形的性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．