Question

3．已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB又等于多少？

Answer 1

分析 （1）作出点P关于OM、OB的对称点A′、B′，然后连接A′B′，A′B′与OM、ON交点即可找到A、B两点的位置；
（2）首先由翻折的性质可知：∠CPD=140°，然后在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可求得：∠A′+∠B′=40°，由轴对称的性质可知∠CPA+∠BPD=40°，从而可求得∠APB的度数．

解答 解：（1）如图所示：

（2）如图下图所示：连AP、BP．

∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP．
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′．
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠CPD=180°．
∴∠CPD=180°-40°=140°．
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-140°=40°．
∴∠CPA+∠BPD=40°．
∴∠APB=140°-40=100°．
如果∠MON=θ，则∠CPD=180°-θ．
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=θ．
∴∠CPA+∠BPD=θ．
∴∠APB=180°-2θ．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短问题，掌握轴对称的性质，利用轴对称的性质确定出A、B的位置是解题的关键．