Question

6．如图，OA∥CD，且分别交直线EF于O、F两点，直线GH经过O点且平分
∠AOF，交直线CD于H，OB⊥OA．
（1）若∠1=50°，求∠AOE，∠OHF； 
（2）若∠BOG+∠AOF=146°，试求∠1的度数．

Answer 1

分析 （1）由OB⊥OA，得到∠AOB=90°，求得∠AOE=40°，根据平行线的性质得到∠OFH=∠AOE=40°，∠AOH=∠OHF，根据角平分线的定义得到∠AOH=∠FOH，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠AOH=∠FOH，推出∠BOG+2（∠1+∠BOG）=146°，①由OB⊥OA，得到∠1+∠AOE=90°，得到∠BOG=$\frac{1}{2}$（90°-∠1），②，把②代入①得即可得到结论．

解答 解：（1）∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∵∠1=50°，
∴∠AOE=40°，
∵OA∥CD，
∴∠OFH=∠AOE=40°，∠AOH=∠OHF，
∵GH平分∠AOF，
∴∠AOH=∠FOH，
∴∠FOH=∠FHO=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°；
（2）∵GH平分∠AOF，
∴∠AOH=∠FOH，
∵∠EOG=∠FOH，
∴∠BOG+∠1=∠FOH=∠AOH，
∵∠BOG+∠AOF=146°，
∴∠BOG+2（∠1+∠BOG）=146°，①
∵OB⊥OA，
∴∠1+∠AOE=90°，
∴∠1=90°-（180°-∠AOF）=2（∠1+∠BOG）-90°，
∴∠BOG=$\frac{1}{2}$（90°-∠1），②，
∴把②代入①得，$\frac{3}{2}$（90°-∠1）+2∠1=146°，
解得：∠1=22°．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．