Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，底角为a，以腰BC为直径作圆，与另一腰切于点M，交较长底边AB于点E，则

BE

AE

的值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：作EH⊥AD于H，连结OM、CE、OE，如图，设⊙O的半径为R，根据圆周角定理得到∠CEB=90°，再根据切线的性质得OM⊥AD，接着根据等腰梯形的性质得∠ABC=∠A=α，由于∠OEB=∠B=α，则∠OEB=∠A，所以OE∥AD，于是可判断四边形OMHE为正方形，得到HE=OE=R，根据锐角三角函数的定义，在Rt△AEH中得到AE=

R

sinα

，在Rt△BCE中得到BE=2Rcosα，然后计算

BE

AE

的值．

解答：解：作EH⊥AD于H，连结OM、CE、OE，如图，设⊙O的半径为R，
∵BC为直径，
∴∠CEB=90°，
∵AD为⊙O的切线，
∴OM⊥AD，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠ABC=∠A=α，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B=α，
∴∠OEB=∠A，
∴OE∥AD，
∴四边形OMHE为矩形，
而OM=OE，
∴四边形OMHE为正方形，
∴HE=OE=R，
在Rt△AEH中，∵sinA=

HE

AE

，
∴AE=

R

sinα

，
在Rt△BCE中，∵cosB=

BE

BC

，
∴BE=2Rcosα，
∴

BE

AE

=

2Rcosα

R sinα

=2sinαcosα．
故答案为2sinαcosα．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．合理构造直角三角形，应用锐角三角函数的定义进行计算是关键．