Question

1．已知抛物线y=x²+（2-m）x-2m（m≠-2）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（B点在C点的左边）．
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）设m=a²-2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；
（3）设m=a²-2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）先令x=0，求出点A坐标，再令y=0求出方程的根，分两种情况得出点B，C坐标；
（2）先判断得出点B，C坐标，再求出AB²，BC²，AC²，用m的范围得出AB，BC，AC的大小，从而得出结论；
（3）根据三角形的边角的不等关系得出结论．

解答 解：（1）令x=0，由y=x²+（2-m）x-2m（m≠2），
∴y=-2m，
∴A的坐标为（0，-2m）
  令y=0，由y=x²+（2-m）x-2m（m≠2），
∴x²+（2-m）x-2m=0，
∴（x+2）（x-m）=0
∴x₁ =-2，x₂=m
∵B点在C点左边．
∴①当 m＜-2时，B，C的坐标分别为（m，0）和（-2，0）．
②当 m＞-2，但m≠2时，B，C的坐标分别为（-2，0）和（m，0）．
 
（2）不存在，
理由：∵m=a²-2a+4=（a-1）²+3≥3．
由（1）的结论知，A的坐标为（0，-2m），B，C的坐标分别为（-2，0）和（m，0）．
∴AB²=4m²+4
     BC²=（m+2）²=m²+4m+4
    AC²=m²+4m² =5m²
∵m≥3，
∴3m²=m×3m≥9m＞4m，
∴AB² =4m²+4＞m² +4m+4=BC²，
∴AB＞BC．
∵m≥3，
∴m²＞=9＞4，
∴AC² =5m² ＞4m² +4=AB²，
∴AC＞AB．
∴AC＞AB＞BC．
∵AB² +BC²=5m²+4m+8＞5m² =AC²．
∴不存在实数a，使△ABC为Rt△．
 
（3）不存在，
理由：∵m=a²-2a+4=（a-1）²+3≥3．
由（2）的结论知，AC＞AB＞BC．
∴∠BAC 最小．
∴不存在实数a，能使得∠BAC最大．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，二次函数的极值，直角三角形的判断，三角形边的大小的判断方法，解本题的关键是得出AC＞AB＞BC．