Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD≠AB，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：CFFG＝DFBF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝12，EF＝8，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4．

【解析】

（1）证明△CDF∽△BGF可得出结论；

（2）证明△CDF≌△BGF，可得出DF＝GF，CD＝BG，得出EF是△DAG的中位线，则2EF＝AG＝AB+BG，求出BG即可．

（1）证明：∵四边形ABCD，AB∥CD，

∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，

∴△CDF∽△BGF．

∴，

∴CFFG＝DFBF；

（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，

又∵F是BC的中点，BF＝FC，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴DF＝GF，CD＝BG，

∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，

∴E为AD中点，

∴EF是△DAG的中位线，

∴2EF＝AG＝AB+BG．

∴BG＝2EF﹣AB＝2×8﹣12＝4，

∴BG＝4．