Question

如图，已知六边形ABCDEF的各个内角等于120度，AB+AF=5，AF+FE=6，AB=CD．则六边形ABCDEF的周长为________．

Answer 1

17
分析：凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解答：解：∵六分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、N．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
即∠HAF=∠HFA=60°，∠NDE=∠NED=60°，
根据三角形的内角和为180°，得到：∠H=∠N=∠G=60°，
所以△AHF、△BGC、△DNE、△GHN都是等边三角形．
∵AB=CD，BG=GC，GH=GN，
∴AH=DN，
又∵AH=AF，DN=DE，
∴AF=DE，
∵EN=DN，HN=GN，
∴HE=GD，即AF+FE=DC+CG=6，
所以GC=BC=8cm，DH=DE=6cm．
∴AB+AF=CD+DE=5，AF+FE=CD+BC=6，
∴六边形ABCDEF的周长为（AB+AF）+（AF+FE）+（ED+CD）+（DC+BC）-（AF+CD），
∵AB=CD，
∴AF+CD=AF+AB，
∴六边形ABCDEF的周长为5+6+6+5-5=17．
故答案为：17．
点评：本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．