题目内容

如图，将边长为3+ $数学公式$ 的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．
解答：过点E作EG⊥AB于G，

∴∠EGB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+ $\text{[math]}$ ，
根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠BEF=360°-∠B-∠F-∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE= $\text{[math]}$ ∠FDB=45°
∴∠MEC=180°-∠BEF=30°，
∴∠EMC=180°-∠C-∠EMC=90°，
在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DN= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ADN= $\text{[math]}$ AD•DN= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在△BDE中，DB=AB-AD=3+ $\text{[math]}$ -1=2+ $\text{[math]}$ ，
∵∠EDG=45°，
∴∠DEG=45°，
∴DG=EG，
∵tan∠B=tan60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设EG=x，则DG=x，BG= $\text{[math]}$ x，
∴x+ $\text{[math]}$ x=2+ $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴EG=DG= $\text{[math]}$ ，
∴S_△BDE= $\text{[math]}$ BD•EG= $\text{[math]}$ ×（2+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵∠B=∠C=∠F=60°，
∴BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1，
∴EC=BC-BE=2，
∵∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=75°，
∴∠FNM=∠MEC=30°，
∴∠FMN=∠EMC=90°，
∴EM=EC•cos30°= $\text{[math]}$ ，
∴FM=EF-EM=BE-EM=1，
∴MN=FM•tan60°= $\text{[math]}$ ，
∴S_{四边形MNDE}=S_△DEF-S_△MNF=S_△BDE-S_△MNF= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．