Question

如图，将边长为

3

的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转60°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为

6-3

3

平方单位．

Answer 1

分析：连接AC′，延长CD交AC′于点E，作EF⊥C′B′，连接AG，由正方形的性质就可以得出△GB′A≌△GDA，△GDA≌△EDA，就可以得出GB′=GD=DE=EF，设GB′=GD=DE=EF=x建立方程求出x的值就可以求出结论．

解答：解：连接AC′，延长CD交AC′于点E，作EF⊥C′B′，连接AG，
∴∠EFG=∠EFC′=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠CDA=90°．∠AC′B′=45°．
∵∠DAD′=60°，
∴∠B′AG=30°，
∴∠DAE=15°．
∵正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转60°后得到正方形AB′C′D′，
∴正方形ABCD≌AB′C′D′，
∴AD=AB′=C′B′，∠CB′A=∠CDA=90°．
在Rt△GB′A和Rt△GDA中

AG=AG AB′=AD

，
∴Rt△GB′A≌Rt△GDA（HL），
∴∠GAB′=∠GAD．GB′=GD．
∵∠GAB′+∠GAD=30°，
∴∠GAB′=∠GAD=15°，
∴∠GAD=∠DAE．
在△GDA和△EDA中

∠ADG=∠ADE AD=AD ∠GAD=∠DAE

，
∴△GDA≌△EDA（ASA），
∴GD=DE．
∵∠EFC′=90°，．∠AC′B′=45°，∠FGD=30°
∴∠FEC′=45°，GE=2EF．
∴∠FEC′=，．∠EC′F，
∴C′F=EF．
设GB′=GD=DE=EF=x，在Rt△EFG中，与偶勾股定理，得
FG=

3

x，
∴x+

3

x+x=

3

，
解得：x=2

3

-3，
∴S_△ADG=

3 (2 3 -3)

2

=

6-3 3

2

，
∴阴影部分的面积为：

6-3 3

2

×2=6-3

3

．
故答案为：6-3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质的运用，正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质的运用，一元一次方程的运用，解答时灵活运用正方形的性质求解是关键．