Question

11．如图，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴相交于点A，P（a，-a²+$\frac{7}{2}$a+m）（a为任意实数）在抛物线上，直线y=kx+b经过A、B两点，平行于y轴的直线x=2交AB于点D，交抛物线于点E．
（1）当代数式-a²+$\frac{7}{2}$a+m的值随a的增大而减小时，求a的取值范围．
（2）当m=2时，直线x=t（0≤t≤4）交AB于点F，交抛物线于点G．若FG：DE=1：2，求t值．
（3）连结EO，当EO平分∠AED时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质，可得答案；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DE，FG的长，根据比例FG：DE=1：2，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据平行线的性质，可得∠2=∠3，根据等腰三角形的判定，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=-a²+$\frac{7}{2}$a+m，
对称轴a=-$\frac{\frac{7}{2}}{-2}$=$\frac{7}{4}$，
-1＜0，开口向下所以a≥$\frac{7}{4}$时，代数式-a²+$\frac{7}{2}$a+m的值随a的增大而减小；
（2）m=2时，抛物线：y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，
当x=0时，y=2，即A（0，2），当y=0时，x=4，x=-$\frac{1}{2}$，即B（4，0），
将A、B点坐标代入函数解析式，得
直线AB：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当x=2时，y=-2²+$\frac{7}{2}$×2+2=5，即E（2，5），当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$×2+2=1，即D（2，1），
DE=4．
当x=t时，y=-t²+$\frac{7}{2}$×t+2，即E（2，-t²+$\frac{7}{2}$×t+2），当x=t时，y=-$\frac{1}{2}$×t+2，即D（2，1），
FG═-t²+$\frac{7}{2}$×t+2（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t．
若FG：DE=1：2，则t²-4t+2=0，
所以t=2±$\sqrt{2}$，满足0≤t≤4，
∴FG：DE=1：2，t的值为2$±\sqrt{2}$；
（3）如图，
OA=m．
当x=2时，y═-2²+$\frac{7}{2}$×2+m=3+m，
E（2，3+m）．
当EO平分∠AED时，∠1=∠2，
∵AO∥DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OA=AE，
m²=2²+（3+m-m）²，
解得m=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用二次函数的性质是阶梯关键；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出DE，FG的长是解题关键；利用等腰三角形的判定的出关于m的方程是解题关键．