Question

1．在RT△ABC中，∠C=90°，CA=CB，D是AB边上一点，E是AC边上一动点，（不与A、C重合），DE⊥DF，DF交射线BC于F点，设AE=x．
（1）若AC=BC=6，AD：DB=1：2，以CE为直径的⊙O与直线DE相切，同时也直线DF相切，求x的值．
（2）若AC=BC=6，AD：DB=1：2，以CE为直径的⊙O，是否存在实数x，使⊙O与直线AB相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若AC=BC=6，AD：DB=1：1，以EF为直径作⊙M，若EF=$2\sqrt{5}$，求$\frac{CE}{CF}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以证明四边形OMDE是正方形，在RT△AED中不难求出AE．
（2）作OM⊥AB垂足为M，用x表示线段AO，OM，根据AO=$\sqrt{2}$OM列出方程求解．
（3）先证明△CDE≌△BDF，设BM=MF=x，在RT△DFM中利用勾股定理路程方程求解．

解答 解：（1）如右图∵⊙O与直线DE相切，CE为直径
∴点E是切点，
设⊙O与直线DF相切于点M，连接OM，
∵∠OED=∠EDM=∠OMD=90°，
∴四边形OMDE是矩形，
∵OM=OE，
∴四边形OMDE是正方形，
在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=6$\sqrt{2}$，∠A=∠B=45°，
∵AD：DB=1：2，
∴AD=2$\sqrt{2}$，DB=4$\sqrt{2}$，
在RT△AED中，∠A=45°，AD=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2，
∴x=2．
（2）如右图作OM⊥AB垂足为M，
∵AE=x，
∴EC=AC-AE=6-x，OM=OC=$\frac{6-x}{2}$，AO=AC-OC=6-$\frac{6-x}{2}$=$\frac{6+x}{2}$，
在RT△AOM中，∠AMO=90°，∠A=45°，
∴AO=$\sqrt{2}$OM．
∴$\frac{6+x}{2}=\sqrt{2}$•$\frac{6-x}{2}$，
x=18-12$\sqrt{2}$．
（3）如右图连接EF，CD作FM⊥AB垂足为M．
∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDC=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=DB}\\{∠EDC=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF，CE=CF，
∵$EF=2\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{10}$，
在RT△MBF中，∵∠B=45°，∠FMB=90°，
∴∠MFB=∠MBF=45°，
∴MB=MF，设BM=MF=x，则DM=3$\sqrt{2}$-x，FB=$\sqrt{2}$x，
∵DF²=DM²+FM²，
∴10=（3$\sqrt{2}$-x）²+x²，
∴x=2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$，
∴FB=CE=4或2，CF=2或4，
∴$\frac{CE}{CF}=2或\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、圆、全等三角形的判定和性质、方程的思想等知识点，题目综合性比较强，难度比较大．