Question

16．在平面直角坐标系中，O为原点，B（0，6），A（8，0），以点B为旋转中心把△ABO逆时针旋转，得△A′BO′，点O，A旋转后的对应点为O′，A′，记旋转角为β．
（1）如图1，若β=90°，求AA′的长；
（2）如图2，若β=120°，求点O′的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据旋转角求出∠A′BA=90°，根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）过点O′作O′C⊥y轴于C，根据旋转的性质求出O′B=OB=6，∠OBO′=120°，再求出∠O′BC=60°，然后解直角三角形求出BC、CO′，再求出OC，然后写出点O′的坐标即可．

解答 解：（1）∵β=90°，
∴∠A′BA=90°，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
根据勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
由旋转的性质得，A′B=AB=10，
在Rt△A′BA中，根据勾股定理得，AA′=$\sqrt{A{B}^{2}+A′{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{2}$；

（2）如图，过点O′作O′C⊥y轴于C，
由旋转的性质得，O′B=OB=6，
∵β=120°，
∴∠OBO′=120°，
∴∠O′BC=180°-120°=60°，
∴BC=$\frac{1}{2}$O′B=$\frac{1}{2}$×6=3，
CO′=$\sqrt{O′{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴OC=OB+BC=6+3=9，
∴点O′的坐标为（3$\sqrt{3}$，9）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是难点．