Question

1．如图，在△ABC中，点A₁、A₂是AB的三等分点，点B₁、B₂是BC的三等分点，点C₁、C₂、C₃、C₄是AC的五等分点，记四边形A₁A₂C₃C₄、B₁B₂C₁C₂的面积分别为S₁、S₂，若S₁+S₂=12，则五边形A₂BB₁C₂C₃的面积为14．

Answer 1

分析 如图．连结BC₂，BC₃．设a，b，c，d，e分别为其所在三角形的面积．由A₁C₄∥A₂C₃，AA₁=A₁A₂，AC₄=C₄C₃，推出△AA₁C₄∽△AA₂C₃，推出$\frac{a}{a+{S}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，推出a=$\frac{1}{3}$S₁，同理可证b=$\frac{1}{3}$S₂，由S₁+S₂=12，推出a+b=4，由AA₂=2BA₂，推出d=$\frac{1}{2}$（a+S₁），同理e=$\frac{1}{2}$（b+S₂），推出d+e=$\frac{1}{2}$（a+S₁+S₂+b）=8，由此AC₃=2₂C₃，推出c=$\frac{1}{2}$（d+a+S₁）=$\frac{1}{2}$（e+S₂+b），推出2c=$\frac{1}{2}$（d+e+a+b+S₁+S₂）=12，即c=6，根据五边形A₂BB₁C₂C₃的面积=d+c+e即可解决问题．

解答 解：如图．连结BC₂，BC₃．设a，b，c，d，e分别为其所在三角形的面积．

∵A₁C₄∥A₂C₃，AA₁=A₁A₂，AC₄=C₄C₃，
∴△AA₁C₄∽△AA₂C₃，
∴$\frac{a}{a+{S}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{a}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=$\frac{1}{3}$S₁，同理可证b=$\frac{1}{3}$S₂，
∵S₁+S₂=12，
∴a+b=4，
∵AA₂=2BA₂，
∴d=$\frac{1}{2}$（a+S₁），同理e=$\frac{1}{2}$（b+S₂），
∴d+e=$\frac{1}{2}$（a+S₁+S₂+b）=8，
∵AC₃=2₂C₃，
∴c=$\frac{1}{2}$（d+a+S₁）=$\frac{1}{2}$（e+S₂+b），
∴2c=$\frac{1}{2}$（d+e+a+b+S₁+S₂）=12，
∴c=6，
∴五边形A₂BB₁C₂C₃的面积=c+d+e=14，
故答案为14．

点评 本题考查相似三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用整体的思想思考问题，掌握异底同高的三角形的面积比等于底的比，属于中考填空题中的压轴题．