Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，-4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．
（1）求这个函数解析式；
（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；
（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的顶点坐标以及在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，得出A，B点坐标，进而得出抛物线解析式即可；
（2）利用网格以及勾股定理得出PC，BC，BP的长，进而得出△BCP的形状；
（3）利用轴对称求最短路径的方法，首先确定F点位置，再求出直线BC的解析式，进而得出F点坐标．

解答：解：（1）如图所示：
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，-4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，
∴A点到对称轴直线x=1的距离为2，B点到对称轴直线x=1的距离为2，
∴A点坐标为；（-1，0），B点坐标为；（3，0），
设抛物线解析式为：y=a（x-1）²-4，
∴0=a（-1-1）²-4，
解得：a=1，
∴函数解析式为：y=x²-2x-3；

（2）如图所示：
∵y=x²-2x-3的图象与y轴交于点C（0，-3），
∴PC=

2

，BC=3

2

，BP=

20

=2

5

，
∴PC²+BC²=BP²，
∴以B、C、P为顶点的三角形的形状是直角三角形；

（3）存在；
理由：如图所示：∵A，B点关于直线x=1对称，
∴BC与直线x=1的交点即为F点，此时△ACF周长最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
当x=1时，y=-2，
∴F（1，-2）．

点评：此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理以及逆定理和待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称求最短路径应用等知识，根据题意正确画出图形，利用数形结合得出是解题关键．