Question

7．在平面直角坐标系中，已知y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为$\sqrt{2}$时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离$\sqrt{2}$时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；
（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

解答 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{-\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1．
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离$\sqrt{2}$时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，
∵点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），
∴直线AC的解析式为y=x-1，
∵直线的斜率为1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵PP′=$\sqrt{2}$，
∴P′M=PM=1，
∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
解得x₁=1，x₂=5，
∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}（x-3）^{2}+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．
（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．