Question

12．如图，已知矩形ABCD中，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．
（1）求证：BE=DC；
（2）求证：∠MBE=∠MDC．
（3）如果AB=6，AD=10，则四边形ABMD面积=64．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=DC，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，证出∠BAE=∠AEB，得出BE=AB，即可得出结论；
（2）先证△MEC是等腰直角三角形，得出ME=MC，∠MCE=45°，再证出∠BEM=∠DCM，由SAS证明△MBE≌△MDC，得出对应角相等即可；
（3）作BG⊥AM于G，作DH⊥AM于H，由三角函数求出BG、DH，再求出AM，四边形ABMD面积=△ABM的面积+△ADM的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵AM平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
∴BE=DC；
（2）证明：∵∠AEB=45°，
∴∠BEM=135°，∠MEC=45°，
∵CM⊥AM，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∴ME=MC，∠MCE=45°，
∴∠DCM=135°，
∴∠BEM=∠DCM，
在△MBE和△MDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DC}&{\;}\\{∠BEM=∠DCM}&{\;}\\{ME=MC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MBE≌△MDC（SAS），
∴∠MBE=∠MDC；
（3）解：作BG⊥AM于G，作DH⊥AM于H，如图所示：
则∠AGB=∠AHD=90°，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=5$\sqrt{2}$，
∵BE=AB=6，
∴AE=$\sqrt{2}$AB=6$\sqrt{2}$，CE=4，
∴ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=2$\sqrt{2}$，
∴AM=AE+ME=8$\sqrt{2}$，
∴四边形ABMD面积=△ABM的面积+△ADM的面积
=$\frac{1}{2}$AM•BG+$\frac{1}{2}$AM•DH=$\frac{1}{2}$AM（BG+DH）
=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×8$\sqrt{2}$
=64；
故答案为：64．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．