Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s，当OD平分∠COP时，运动时间为$\frac{56}{39}$s．

Answer 1

分析 如图，作OG⊥BD交AD于G，作OH⊥AD于H，GM⊥AC于M，GN⊥OP于N．由△DOG∽△DAB可得DG=$\frac{25}{4}$，AG=$\frac{7}{4}$，由$\frac{{S}_{△AOG}}{{S}_{△GOP}}$=$\frac{AG}{PG}$=$\frac{\frac{1}{2}•OA•GM}{\frac{1}{2}•OP•GN}$=$\frac{OA}{OP}$，设PG=x，OP=y，可得$\frac{\frac{7}{4}}{x}$=$\frac{5}{y}$，推出y=$\frac{20}{7}$x，在Rt△OPH中，OP=y，OH=3，PH=$\frac{9}{4}-x$，可得y²=（$\frac{9}{4}$-x）²+3²，解方程组即可解决问题．

解答 解：如图，作OG⊥BD交AD于G，作OH⊥AD于H，GM⊥AC于M，GN⊥OP于N．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，
易知AC=BD=10，OA=OB=OC=OD=5，
由△DOG∽△DAB可得DG=$\frac{25}{4}$，AG=$\frac{7}{4}$，
∵∠DOP=∠DOC=∠AOB，∠GOD=∠GOB=90°，
∴∠AOG=∠GOP，
∴GM=GN，
∴$\frac{{S}_{△AOG}}{{S}_{△GOP}}$=$\frac{AG}{PG}$=$\frac{\frac{1}{2}•OA•GM}{\frac{1}{2}•OP•GN}$=$\frac{OA}{OP}$，设PG=x，OP=y，
∴$\frac{\frac{7}{4}}{x}$=$\frac{5}{y}$，
∴y=$\frac{20}{7}$x，
在Rt△OPH中，OP=y，OH=3，PH=$\frac{9}{4}-x$，
∴y²=（$\frac{9}{4}$-x）²+3²，
∴（$\frac{20}{7}$x）²=（$\frac{9}{4}$-x）²+3²，
解得x=$\frac{175}{156}$（负根已经舍弃），
∴AP=AG+GP=$\frac{7}{4}$+$\frac{175}{156}$=$\frac{112}{39}$，
∴t=$\frac{112}{39}$÷2=$\frac{56}{39}$．
故答案为$\frac{56}{39}$．

点评 本题考查矩形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理、相似三角形的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．