Question

14．如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A，E两点，D是第一象限内直线y=2x+2上运动的一个动点，以ED为边作正方形EDCB，连结CE，作EC⊥CF与过A，D，C三点的圆交于点F，连结DF．
（1）求AE的长；
（2）请你在图中连结已标注字母的两点，从而构造一个三角形与△FDC相似，并说明理由．
（3）点D在运动过程中，CF的长度是否改变？若不变，请求出CF的长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定E点坐标为（0，2），A点坐标为（-1，0），然后利用勾股定理计算AE；
（2）连结AC，先根据正方形的性质得∠DCE=∠DEC=45°，则∠AEC=135°，再计算出∠DCF=135°，则∠AEC=∠DCF，然后根据圆周角定理得∠DAC=∠DFC，
于是根据三角形相似的判定方法得到△ACE∽△FDC；
（3）由△ACE∽△FDC得到$\frac{AE}{CF}$=$\frac{EC}{DC}$，再根据△DEC为等腰直角三角形得到EC=$\sqrt{2}$DC，然后利用相似比可计算出CF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

解答 解：（1）把x=0代入y=2x+2得y=2，则E点坐标为（0，2），
把y=0代入y=2x+2得2x+2=0，解得x=-1，则A点坐标为（-1，0），
所以AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；

（2）连结AC，则△ACE∽△FDC．理由如下：
∵四边形BEDC为正方形，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠AEC=135°，
∵EC⊥CF，
∴∠DCF=45°+90°=135°，
∴∠AEC=∠DCF，
∵∠DAC=∠DFC，
∴△ACE∽△FDC；

（3）CF的长度不改变．
∵△ACE∽△FDC，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{EC}{DC}$，
∵△DEC为等腰直角三角形，
∴EC=$\sqrt{2}$DC，
∴$\frac{\sqrt{5}}{CF}$=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和正方形的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．