Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．
（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）
（2）综合应用：在你所作的图中．
①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；
②如果∠BAC=60°，CD=$\sqrt{3}$，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；
（2）①由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；
②设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S_△ODB-S_扇形ODE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

解答 解：（1）如图1；

（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：
如图1，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
即直线BC是⊙O的切线，
∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；

②如图2，
∵∠BAC的角平分线AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴BD=AD．
∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=$\sqrt{3}$，
∴AD=2CD=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$CD=3，
∴BD=2$\sqrt{3}$，AB=2AC=6．
设⊙O的半径为r，
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，
即r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，
解得r=2，OB=6-r=4，
∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S_扇形ODE=$\frac{60×π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
S_△ODB=$\frac{1}{2}$OD•BD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S_△ODB-S_扇形ODE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 此题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知识，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．