Question

13．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CBA的平分线交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠ADE；
（2）若⊙O的半径为5，AD=6，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△ADE和△ADB均为直角三角形，然后依据同角的余角相等可证明∠ADE=∠ABD，然后结合角平分线的定义以及同弧所对的圆周角相等进行证明即可；
（2）先依据勾股定理求得BD的长，然后在△ADB中依据面积法可求得DE的长，接下来，在△ADE中，依据勾股定理求得AE的长，设PD=PA=x，在△APE中，依据勾股定理列方程求解即可．

解答 解：（1）∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠ADE=∠ABD．
∵BD平分∠CBA，
∴∠ABD=∠CBD．
∴∠ADE=∠CBD．
又∵∠CBD=∠DAC，
∴∠ADE=∠CAD．
（2）∵圆O的半径为5，
∴AB=10．
在△ABD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵S_△ADB=$\frac{1}{2}AD•DB$=$\frac{1}{2}AB•DE$，
∴AD•DB=AB•DE，即10DE=48．
解得：DE=4.8．
在△ADE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3.6．
∵∠ADE=∠CAD，
∴PD=PA．
设PD=PA=x，则PE=4.8-x．
在△APE中，由勾股定理得：AP²=PE²+AE²，即x²=（4.8-x）²+3.6²．整理得：9.6x=36，
解得：x=3.75．
∴DP=3.75．

点评 本题主要考查的是圆周角定理、勾股定理、以及等腰三角形的判定、直角三角形两锐角互余的性质，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．