Question

5．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为并证明．

Answer 1

分析 在AE上取一点F，使AF=AB，即可得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论．

解答 解：AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠ECF=∠ECD}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE．

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．