Question

已知直线y=2x+2与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M（1，a）．
（1）求k的值；
（2）点N（b，1）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用图象上点的坐标性质得出M点坐标，进而求出k的值；
（2）利用轴对称求最短路径方法得出P点位置，进而得出P点坐标．

解答：解：（1）∵直线y=2x+2与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M（1，a），
∴a=2×1+2=4，
故M（1，4），
则k=1×4=4；

（2）∵点N（b，1）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上的点，
∴b=4，
则N（4，1），
如图所示：作M（1，4）点关于x轴对称点M′（1，-4），连接M′N，
设直线M′N解析式为：y=ax+b，
故将（1，-4）和（4，1）代入得：

a+b=-4 4a+b=1

，
解得：

a= 5 3 b=- 17 3

，
故直线M′N解析式为：y=

5

3

x-

17

3

，
当y=0时，0=

5

3

x-

17

3

，
解得：x=

17

5

，
故P点坐标为：（

17

5

，0），
则在x轴上存在点P（

17

5

，0），使得PM+PN最小．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数综合，得出P点位置，再利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．