Question

4．若二次函数y=ax²+b最大值为4，且该函数的图象经过点A（1，3）．
（1）a=-1，b=4，顶点D坐标（0，4）；
（2）求这个抛物线关于x轴对称后所得的新函数解析式；
（3）是否在抛物线上存在点B，使得S_△DOB=2S_△AOD？存在的话，请求出B的坐标；不存在的话，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得a、b，根据顶点式即可得到顶点坐标；
（2）利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
（3）假设存在并设出其坐标，根据三角形面积相等易得|x|=2，分x的值为2与-2两种情况讨论，进而可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+b最大值为4，
∴b=4，
∴y=ax²+4，
∵函数的图象经过点A（1，3），
∴3=a+4，解得a=-1，
∴y=-x²+4，
∴顶点D的坐标为（0，4）；
故答案为-1，4，0，4；
（2）∵抛物线y=-x²+4关于x轴对称的抛物线为-y=-x²+4，
∴所求解析式为：y=x²-4．
（3）假设存在点B（x，y），
依题意有$\frac{{S}_{△DOB}}{{S}_{△AOD}}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}OD×|x|}{\frac{1}{2}OD×1}$=$\frac{2}{1}$，
∴|x|=2，
∴x=±2，
①当x=2时，则y=-x²+4=0
②当x=-2时，则y=-x²+4=0，
∴存在满足条件的点B，它的坐标为：（2，0）或（-2，0）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数图象与几何变换，求得抛物线的解析式是解题的关键．