Question

16．阅读下列材料，解答问题：
定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线．
（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD＜CD，则∠B=36°，∠ADC=72°；
（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC的完美分割线；
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B₁处，AB₁交CD于点E．求证：DB₁=EC．

Answer 1

分析 （1）由AD为△ABC的完美分割线，推出△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，由此即可解决问题；
（2）根据完美分割线的定义只要证明①△ABE是等腰三角形，③△BCE∽△ACB即可；
（3）想办法证明△AB₁D≌△ACE即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵AD为△ABC的完美分割线，
∴△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠ADC=∠CAD=72°
故答案为36°，72°．

（2）证明：如图2中，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∵BE为△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠ABE=∠A，
∴AE=BE，
∵∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴△ABE、△BEC均为等腰三角形，
∴BE为△ABC的完美分割线．

（3）证明：如图3中，

∵AD是△ABC的一条完美分割线，
∴AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠ADB+∠CDA=180°，
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∴∠CAD=2∠BAD，
∵∠BAD=∠B₁AD，
∴∠CAD=2∠B₁AD，
∵∠CAD=∠B₁AD+∠CAE，
∴∠B₁AD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠B₁，
∴∠B₁=∠C，
∵AB=AB₁，
∴AB₁=AC，
∴△AB₁D≌△ACE，
∴DB₁=CE．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．