Question

如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两个动点，且BE=DF．试猜想并证明AE与CF的关系．

Answer 1

分析：AE与CF的关系分为数量关系和位置关系两种情况．由平行四边形的性质得出AD=CD，∠ABE=∠CDF，结合BE=DF可证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得出结论．

解答：解：（1）数量关系：AE=CF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，

BE=DF ∠ABE=∠CDF AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE=CF．

（2）当点E与点F不在BD的中点时，AE∥FC．
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF．

（3）当点E和点F在BD的中点时，AE与CF共线．

点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质．解题时，一定要分类讨论，以防漏解．