Question

2．已知：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图2，若CF=2，CE=5，四边形ABCD的周长为28．求EF的长度．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”和已知条件判定“同旁内角互补”，则两直线平行得到AD∥BC，于是得到结论；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到∠B=∠D，由于∠AEB=∠AFD=90°，得到△ABE∽△ADF，得到$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，根据比例的性质得到$\frac{AB+AD}{AD}$=$\frac{BE+DF}{DF}$，得到AD=2DF，根据直角三角形的性质得到∠DAF=30°，∠D=60°，求出∠C=120°，由余弦定理求得结果．

解答 （1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
又∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：设BC=x，CD=y，
∴x+y=14，
BE+DF=14-（5+2）=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，
∴$\frac{AB+AD}{AD}$=$\frac{BE+DF}{DF}$，
∴$\frac{14}{AD}$=$\frac{7}{DF}$，
∴AD=2DF，
∴∠DAF=30°，∠D=60°，
∠C=120°，
根据余弦定理得：EF²=5²+2²-2×5×2•cos120°=25+4+10=39，
∴$EF=\sqrt{39}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，余弦定理，知道根据余弦定理解决问题是解题的关键．