题目内容
7．某岛是我国南海上的一个岛屿，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图甲所示，其中∠B=90°，AB=100$\sqrt{3}$千米，∠BAC=30°，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）；
（2）国家为了建设的需要，在原有岛屿基础上沿海岸线AC向海洋填海，扩充岛屿的面积（如图乙），填成一个以AC为直径的半圆，点D在这个半圆上，求当△ACD的面积最大时，△ACD另外两条边的边长．
分析 （1）根据直角三角形的性质和AB=100$\sqrt{3}$千米，∠BAC=30°求出AC、BC的长，根据周长和面积公式求出答案．
（2）当D是AC的中点时，△ACD的面积最大，求出另外两条边的边长即可．
解答 解：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，AB=100$\sqrt{3}$，
∴AC=200，BC=100，
∴C△ABC=200+100+100$\sqrt{3}$=300+100$\sqrt{3}$≈473米，
S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×100×100$\sqrt{3}$≈8650米，
（2）∵以AC为一边的面积最大的三角形另一个顶点D应是$\widehat{AC}$的中点，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=100$\sqrt{2}$≈141.4米．
点评 本题考查的是解直角三角形的应用，正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
17．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即1.4960亿千米，用科学记数法表示1个天文单位应是（ ）
| A． | 1.4960×107千米 | B． | 14.960×107千米 | C． | 1.4960×108千米 | D． | 0.14960×109千米 |
如图，大长方形由四个面积分别为12cm2、36cm2、24cm2、48cm2的小长方形拼成，求图中阴影部分的面积是多少cm2？
19．在平面直角坐标系中有一点A（4，-2），将坐标系平移，使原点O移至点A，则在新坐标系中原来点O的坐标是（ ）
| A． | （-4，2） | B． | （-4，-2） | C． | （4，2） | D． | （2，-4） |
16．
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）| A． | 4-2$\sqrt{2}$ | B． | 3$\sqrt{2}$-4 | C． | 1 | D． | $\sqrt{2}$ |