Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=BE=1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG•HB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；
（2）由等腰直角三角形的性质得到CF=$\sqrt{2}$BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=$\sqrt{2}$BF，根据勾股定理得到EF的长，根据圆的面积公式即可得到结论；
（3）推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．

解答 解：（1）BD与⊙O相切，
理由：如图1，连接OB，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠ABC=90°，AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C=∠BFE，
∴∠DBC=∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF=90°，
∴∠DBC+∠CBO=90°，
∴∠DBO=90°，
∴BD与⊙O相切；

（2）如图2，连接CF，HE，
∵∠CDE=90°，∠ABC=90°，
∴∠DEC=∠A，
∵∠CED=∠FEB，
∴∠FEB=∠A．
∵AB=BE，∠ABC=∠CBF=90°，
∴△ABC≌△EBF，
∵BC=BF，
∴CF=$\sqrt{2}$BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF=CF=AB+BF=1+BF=$\sqrt{2}$BF，
∴BF=$\sqrt{2}$+1，
∴EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$，
∵∠CBF=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴⊙O的面积=（$\frac{1}{2}$EF）²•π=$\frac{4+2\sqrt{2}}{4}$π=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$π；

（3）∵BH平分∠CBF，
∴$\widehat{EH}$=$\widehat{HF}$，
∴EH=FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，
∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴$\frac{HF}{HG}=\frac{BH}{HF}$，
∴HG•HB=HF²=2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．