Question

9．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；
（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{OC}=1$，
∴AE=CF，OE=OF，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{OE=OF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COF．

（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AOB中，
sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AO}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴AO=1，
在Rt△AEO中，
cos∠AOE=cos30°=$\frac{OE}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=2OE=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大．