Question

12．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b²-4ac＜0；②4a+c＞2b；③3b+2c＜0；④4n（an+b）≤a，其中结论正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 由抛物线与x轴交点个数可判断①；由x=0时y＞0及对称轴x=-1可知x=-2时y＞0可判断②；由对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1及x=1时y＜0可判断③，假设④成立，通过变形整理可得4n²+8n-1≤0恒成立，由不等式解的情况可判断．

解答 解：由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，故①错误；
∵抛物线对称轴为x=-1，且当x=0时y＞0，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，
即4a+c＞2b，故②正确；
由抛物线对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，可得a=$\frac{b}{2}$，
∵当x=1时，y＜0，
∴y=a+b+c＜0，
将a=$\frac{b}{2}$代入得：$\frac{b}{2}$+b+c＜0，即3b+2c＜0，故③正确；
假设4n（an+b）≤a成立，
将b=2a代入，得：4n（an+2a）≤a，即4an²+8an≤a恒成立，
由图象可知a＜0，
∴4n²+8n-1≤0，
解得：-$\frac{\sqrt{5}+2}{2}$≤n≤$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$，故④错误；
综上，正确结论是②③，
故选：C．

点评 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．