Question

14．已知，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
（1）如图①，若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）如图②，连接DO并延长交⊙O于点M，连接MB，若∠M=∠D，求∠D的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OD，先根据垂径定理得出DE的长，再设OD=r，则OE=r-4，在Rt△ODE中根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论；
（2）先根据垂径定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，再由∠M=∠D得出$\widehat{CM}$=$\widehat{BD}$，故可得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{CM}$，再由MD是⊙O的直径得出$\widehat{MC}$的度数，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=16，
∴DE=8．
设OD=r，则OE=r-4，
在Rt△ODE中，
∵OE²+DE²=OD²，即（r-4）²+8²=r²，解得r=10，
∴AB=2r=20；

（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$．
∵∠M=∠D，
∴$\widehat{CM}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{CM}$．
∵MD是⊙O的直径，
∴$\widehat{MC}$=60°，
∴∠D=30°．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理解答是解答此题的关键．