Question

（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长

    CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．

   （2）如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边

    BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

                                     

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为正方形，

              ∴∠ABE=∠ADG，AD=AB，

              在△ABE和△ADG中，

              

              ∴△ABE≌△ADG（SAS），         3分

               ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

               ∴∠EAG=90°，

               在△FAE和△GAF中，

               ，

               ∴△FAE≌△GAF（SAS），

               ∴EF=FG                         6分

    （2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．

             连接AE、EN．

                                                

           ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACN=45°．

           ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．

           在△ABM和△ACE中，

          

            ∴△ABM≌△ACE（SAS）．                 8分

            ∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

            ∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．

            于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

            在△MAN和△EAN中，

           

            ∴△MAN≌△EAN（SAS）．                10分

          ∴MN=EN．

          在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN²=EC²+NC²．

          ∴MN²=BM²+NC²．

          ∵BM=1，CN=3，

          ∴MN²=1²+3²，

          ∴MN=                                _12分