Question

7．如图①，△ABC是等边三角形，AB=AE，连接CE交AB于点H，
（1）求证：∠BAE=2∠BCE；
（2）如图②，延长线AE，CB交于点F，点D在CB上，连接AD交CE于点G，当FA=FD时，求证：AH=BD；
（3）如图③，在（2）的条件下，把△ACD沿AD翻折，得到△AKD，K与C对应，AK交CE于点T，若CG=6，TG=4，求线段DG的长．

Answer 1

分析 （1）先判断∠E=∠ACE，再用等边三角形的性质计算求出结论；
（2）先判定∠FAB=2∠DAC，从而得到∠DAC=∠HCB．判断出△ACD≌△CBH，代换得到结论；
（3）作出辅助线，判断出△GKM为等边三角形，得到△TKG≌△DKM，即可．

解答 （1）证明：∵AE=AB，AB=AC，
∴AE=AC，
∴∠E=∠ACE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=60°，∠E+∠ACE+∠BAE=120°，
∴2∠ACE+∠BAE=120°，2（∠ACE+∠BCE）=120°，
∴∠BAE=2∠BCE．
（2）证明：∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA=60°+∠DAC，
∴∠FAB+（60°-∠DAC）=60°+∠DAC，
∴∠FAB=2∠DAC．
∵∠FAB=2∠HCB，
∴∠DAC=∠HCB．
在△ACD和△CBH中，有
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠HCB}\\{∠ACD=∠CBH=60°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH=CD，
∵AB=BC，
∴AH=BD．
（3）如图③，
连接KC，GK，延长AD到M使GN=MN，
∴△GKM为等边三角形，
∴△TKG≌△DKM，
∴TG=DM=4，
∵GM=6，
∴GD=2，

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形，解本题的关键判断△ACD≌△CBH和构造等边三角形．