Question

17．在进行二次根式计算或化简时，我们有时会碰上如$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$这种“双重根式”，同学们总觉得已不能进一步化简和计算；其实我们还可以利用a=（$\sqrt{a}$）²（a≥0）和$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|这两个二次根式的性质进行化简，其解决办法是拆“项”配方，见下面化简过程：
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3+2\sqrt{6}+2}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+2\sqrt{6}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
根据上面的解法，请计算：
（1）$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$；            
（2）$\frac{2}{\sqrt{2}}$-（$\sqrt{3}$-2）²⁰¹⁴（$\sqrt{3}$+2）²⁰¹⁵+$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$-|$\sqrt{3}$-2|

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到原式=$\sqrt{（\sqrt{4}-\sqrt{3}）^{2}}$，然后根据二次根式的性质化简即可；
（2）项利用前面的方法得到$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}}$，再根据积的乘方和二次根式的性质得到原式=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$-2+$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-2，然后合并即可．

解答 解：（1）原式=$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$=$\sqrt{7-2\sqrt{4}×\sqrt{3}+3}$=$\sqrt{（\sqrt{4}）^{2}-2\sqrt{4}×\sqrt{3}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{4}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$；
（2）原式=$\sqrt{2}$-[（$\sqrt{3}$-2）（$\sqrt{3}$+2）]²⁰¹⁴•（$\sqrt{3}$+2）+$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}}$+$\sqrt{3}$-2
=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$-2+$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-2
=2$\sqrt{2}$-5．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的性质与化简．