Question

已知：中，，中，,. 连接、点、、分别为、、的中点.

(1) 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是__________，此时________；
(2) 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；
(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.

Answer 1

(1)等边三角形，1
(2)
(3)

试题分析:解：(1)等边三角形，1；(每空1分)    ------------------------2分
（2）证明：连接、.

由题意，得，,.
∵ 、、三点在同一直线上，
∴ 、、三点在同一直线上.
∴ .
∵ 为中点，
∴ 在Rt△中，.
在Rt△中，.
∴ .---------------------------3分
∴ 、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上.
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ .   ----------------------------------4分
∴ .
由题意，，又.
∴ .------------------------------------5分
∴ .
在Rt中，.
∵ ，   
∴ .
∴ .------------------------------6分
（3）.--------------------------------7分
点评：这类问题很复杂，对于学有余力的学生来说可以深钻，解答这类试题的关键就在于巧妙地作出辅助线，辅助线找出来以后，试题便可迎刃而解。另外这类试题涉及的角度一般都是常见的特殊角，需要考生牢记，或者可以直接约分，所以一般不需在计算上出难题。