Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=6，BC=8，则$\frac{DE}{AD}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 过点E作EF⊥BC于F，推出△ACD∽△EDF，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{AC}$，当OE⊥BC时，EF有最大值，根据勾股定理得到AB=10，由垂径定理得到BF=$\frac{1}{2}$BC=4，求得EF=2，即可得到结论．

解答 解：如图1，过点E作EF⊥BC于F，
∵∠C=90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EDF，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{AC}$，
∵AE⊥BE，
∴A，B，E，C四点共圆，
设AB的中点为O，连接OE，
当OE⊥BC时，EF有最大值，
如图2，∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF，OE重合，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴OE=5，∵OE⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=4，∴OF=3，∴EF=2，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{AC}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{AD}$的最大值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC时，EF有最大值是解题的关键．