Question

已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中

点C的坐标是（0，3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

（1）求m的值；

（2）求∠CDE的度数；

（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果

存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线过点C（0，3）
∴1-m=3
∴m=-2                              

（2）由（1）可知该抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴此抛物线的对称轴x=1
抛物线的顶点D（1，4）
过点C作CF⊥DE，则CF∥OE
∴F（1，3）
所以CF=1，DF=4-3=1
∴CF=DF
又∵CF⊥DE
∴∠DFC=90°
∴∠CDE=45°                                           

（3）存在．
①延长CF交抛物线于点P₁，则CP₁∥x轴，所以P₁正好是C点关于DE的对称点时，有DC=DP₁，得出P₁点坐标（2，3）；
由y=-x²+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
②若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得：

＜1，应舍去；
∴

∴y=4-x=

则P₂点坐标（）
∴符合条件的点P坐标为（）和（2，3）．