Question

17．如图，已知△ABC中AB=AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）当∠BAC=50°时，求∠BDC的度数；
（2）请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系；
（3）求证：AD∥BE．

Answer 1

分析 （1）由外角关系∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，即可得出∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）由（1）的结论即可得到结果；
（3）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∴∠ACE=115°，
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=32.5°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE=57.5°，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=25°；

（2）∠BAC=2∠BDC，（或∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC）；

（3）过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM=DN=DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠GAD=∠DAC，
∵∠GAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．