Question

5．如图，正方形ABCD中，对角线 AC、BD交于点P，O为线段BP上一点（不与B、P重合），以O为圆心OA为半径作⊙O交直线AD、AB于E、F．
（1）求证：点C在⊙O上；
（2）求证：DE=BF；
（3）若AB=4$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，求BO的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC，欲证明点C在⊙O上，只要证明OA=OC即可．
（2）连接CE、CF，欲证明DE=BF，只要证明△FBC≌△EDC即可．
（3）如图3中，连接EF，作OK⊥AB于K．首先证明EF是直径，OK是△AEF的中位线，求出OK，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴OC=OA，
∴点C在⊙O上．

（2）连接CE、CF，

∵四边形AFCE是⊙O的内接四边形，
∴∠BFC+∠AEC=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，
∴∠BFC=∠DEC，
∵CD=BC，∠ADC=∠FBC=90°，
在△CBF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠CBF}\\{∠CED=∠CFB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△EDC，
∴DE=BF．

（3）如图3中，连接EF，作OK⊥AB于K．

∵∠EAF=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OE=OF，
∵OK⊥AF，
∴AK=KF，
∴OK=$\frac{1}{2}$AE，
∵AB=AD=4$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴AE=AD-DE=3$\sqrt{2}$，
∴OK=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠OBK=45°，
∴BO=$\sqrt{2}$OK=3．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．