Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）P是y轴上一动点（且不与A，B点重合），以P，O，B为顶点的三角形与△AOC相似，求出满足条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．
（2）需要分类讨论：△AOC∽△BOP和△AOC∽△POB，根据相似三角形的对应边成比例来求点P的坐标即可．

解答：解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点C、E，则

c=3   3=-4+2b+c

，
解得

b=2 c=3

，
∴该抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为y=-x²+2x+3．
易求A（-1，0），（3，0），
则OA=1，OB=3．
①当△AOC∽△POB时，

OA

OP

=

OC

OB

，即

1

OP

=

3

3

，
解得，OP=1，
故P₁（0，1），P₂（0，-1）；
②当△AOC∽△BOP时，

OA

OB

=

OC

OP

，即

1

3

=

3

OP

，
解得，OP=9，
故P₃（0，9），P₄（0，-9）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P₁（0，1），P₂（0，-1），P₃（0，9），P₄（0，-9）．

点评：本题考查了二次函数的综合题型．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质以及相似三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．