Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连结EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．
（1）求证：△AME≌△DMF；
（2）在点E的运动过程中，探究：
①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；
②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）
（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到∠EAM=∠FDM=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论；②当点E运动到A时，G为BC的中点，当点E运动到B时，点G与C重合，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（3）在Rt△AME中，AE=x，AM=2．根据勾股定理EM²=x²+4，根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠MDF=90°，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△AME与△DMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}\\{AM=DM}\\{∠AME=∠FMD}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMF；

（2）①△EGF的形状不发生变化，始终是等腰直角三角形．
理由：过点G作GH⊥AD于H，如图2，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形；

②线段MG的中点H运动的路程最长为1，
如图3，当点E运动到A时，MG⊥AD，∴MG⊥BC，
∴G为BC的中点，
当点E运动到B时，点G与C重合，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴HH′=$\frac{1}{2}$CG=1，
∴线段MG的中点H运动的路程最长为1；

（3）在Rt△AME中，AE=x，AM=2．
根据勾股定理，得EM²=AE²+AM²=x²+4．
S=S_△EGF=$\frac{1}{2}$EF•GM=EM²=x²+4，即x²+4=6．
∴x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴当x=$\sqrt{2}$时，S=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定．熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定方法是解题的关键．