Question

14．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AE=4，tan∠ACD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求FC的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明CF是⊙O的切线，只要证明OC⊥CF即可．
（2）通过计算发现AE=OE，因为CE⊥OA，可以证明△AOC是等边三角形，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠OCB+∠ACO=90°，
∵∠FCA=∠B，
∴∠FCA+∠ACO=90°，即∠FCO=90°，
∴FC⊥OC，
∴FC是⊙O切线．
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵tan∠ACE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{AE}{EC}$，AE=4，
∴EC=4$\sqrt{3}$，设OA=OC=r，
在RT△OEC中，r²=（r-4）²+（4$\sqrt{3}$）²，
∴r=8，
∴OE=AE=4，∵CE⊥OA，
∴CA=CO=8，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠FOC=60°，
在RT△FOC中，∵∠OCF=90°，OC=8，∠F=30°，
∴OF=16，CF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{C}^{2}}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的判定、三角函数、勾股定理．等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，证明△AOC是等边三角形是解决问题的突破口，属于中考常考题型．