Question

如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=

2

，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：先根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，再根据旋转的性质得∠BAC=45°，∠C′=∠C=45°，AC′=AC=

2

，于是可判断△AFC′为等腰直角三角形，∠AFC′=90°，则AF=

2

2

AC′=1，所以BF=AB-AF=

2

-1，接着判断△ABD和△BFE都是等腰三角形，则AD=BD=

2

2

AB=1，EF=BF=

2

-1，然后根据三角形面积公式和图中阴影部分的面积=S_△ADB-S_△BEF进行计算即可．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=AC=

2

，
∴∠B=∠C=45°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，
∴∠BAC=45°，∠C′=∠C=45°，AC′=AC=

2

，
∴△AFC′为等腰直角三角形，∠AFC′=90°，
∴AF=

2

2

AC′=

2

2

×

2

=1，
∴BF=AB-AF=

2

-1，
∵∠BAD=∠B=45°，
∴△ABD和△BFE都是等腰三角形，
∴AD=BD=

2

2

AB=1，EF=BF=

2

-1，
∴图中阴影部分的面积=S_△ADB-S_△BEF=

1

2

×1×1-

1

2

×（

2

-1）²=

2

-1．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．正确应用等腰直角三角形的性质是解决此题的关键．