Question

如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=2

3

，OA=4，求线段BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OC，如图，根据等腰三角形的性质，由OB=OC，AC=AD得到∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，再由OA⊥l得∠ADC+∠ABD=90°，加上∠ABD=∠OBC，于是有∠OCB+∠ACD=90°，即∠ACO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）如图1，作直径BE，连接CE，设⊙O半径为r，则AB=OA-OB=4-r，根据勾股定理得AD²=BD²-AB²=12-（4-r）²，AC²=AO²-OC²=16-r²，由于AC=AD，则12-（4-r）²=16-r²，解得r=

5

2

，再证明Rt△ABD∽Rt△CBE，然后利用相似比可计算出BC．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵OB=OC，AC=AD
∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，
∵OA⊥l，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
而∠ABD=∠OBC，
∴∠OCB+∠ACD=90°，
∴∠ACO=90°
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，作直径BE，连接CE，
设⊙O半径为r，则AB=OA-OB=4-r，
在Rt△ABD中，∵AD²=BD²-AB²=12-（4-r）²，
在Rt△AOC中，∵AC²=AO²-OC²=16-r²，
而AC=AD，
∴12-（4-r）²=16-r²，解得r=

5

2

，
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE=90°，
又∵∠ABD=∠EBC，
∴Rt△ABD∽Rt△CBE，
∴

BA

BC

=

BD

BE

，即

4- 5 2

BC

=

2 3

5

∴BC=

5 3

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．