Question

△ABC中AB=12，AC=8，P是BC上一点且BP=2PC，设Q是△ABC某边一点，若PQ截得三角形与原三角形相似，面积比为1：4，则AQ的长是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：

分析：由于Q是△ABC某边一点，所以Q可能在AC边上，也可能在AB边上．①当Q在AC边上时，作BG⊥AC于G，PF⊥AC于F．根据三角形的面积公式得出S_△QPC=

1

2

QC•PF，S_△ABC=

1

2

AC•BG，由

S△QPC

S△ABC

=

1

4

，得出

QC•PF

AC•BG

=

1

4

，根据平行线分线段成比例定理得到

PF

BG

=

PC

BC

=

1

3

，于是

QC

8

•

1

3

=

1

4

，求出QC=6，那么AQ=AC-QC=8-6=2；②当Q在AB边上时，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F．根据三角形的面积公式得出S_△BQP=

1

2

BQ•PE，S_△ABC=

1

2

AB•CF，由

S△BPQ

S△ABC

=

1

4

，得出

BQ•PE

AB•CF

=

1

4

，根据平行线分线段成比例定理得到

PE

CF

=

BP

BC

=

2

3

，于是

BQ

12

•

2

3

=

1

4

，求出BQ=

9

2

，那么AQ=AB-BQ=12-

9

2

=

15

2

．

解答：解：分两种情况：
①Q在AC边上时，作BG⊥AC于G，PF⊥AC于F．S_△QPC=

1

2

QC•PF，S_△ABC=

1

2

AC•BG，
∵

S△QPC

S△ABC

=

1

4

，
∴

QC•PF

AC•BG

=

1

4

，
∵PF∥BG，
∴

PF

BG

=

PC

BC

=

1

3

，
∴

QC

8

•

1

3

=

1

4

，
∴QC=6，
∴AQ=AC-QC=8-6=2；
②Q在AB边上时，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F．S_△BQP=

1

2

BQ•PE，S_△ABC=

1

2

AB•CF，
∵

S△BPQ

S△ABC

=

1

4

，
∴

BQ•PE

AB•CF

=

1

4

，
∵PE∥CF，
∴

PE

CF

=

BP

BC

=

2

3

，
∴

BQ

12

•

2

3

=

1

4

，
∴BQ=

9

2

，
∴AQ=AB-BQ=12-

9

2

=

15

2

；
综上所述，AQ的长为2或

15

2

．

点评：本题考查了三角形的面积，平行线分线段成比例定理，进行分类讨论是解题的关键．