Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，点D是线段BC上一点，DC=3，沿过点D的直线折叠三角形，使点B落在斜边AC所在直线上，点B的对应点E到点A的距离是$\frac{38}{5}$-$\frac{2\sqrt{138}}{5}$．

Answer 1

分析 作DF⊥AC于F，欲求AE，因为AE=AC-EF-CF，所以只要求出EF，CF，利用△CDF∽△CAB得$\frac{DF}{AB}=\frac{CF}{BC}=\frac{CD}{AC}$，可以求出CF，DF，再利用勾股定理求出EF即可．

解答 解：如图作DF⊥AC于F，
在RT△ABC中，∵AC=10，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠C=∠C，∠DFC=∠ABC=90°，
∴△CDF∽△CAB，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CF}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{DF}{6}=\frac{CF}{8}=\frac{3}{10}$，
∴DF=$\frac{9}{5}$，CF=$\frac{12}{5}$，
∵BD=DE=5，
在RT△DEF中，∵DE=5，DF=$\frac{9}{5}$，
∴EF=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{9}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{34}}{5}$，
∴AE=AC-EF-FC=10-$\frac{12}{5}$-$\frac{4\sqrt{34}}{5}$=$\frac{38}{5}$-$\frac{4\sqrt{34}}{5}$．
故答案为$\frac{38}{5}$-$\frac{4\sqrt{34}}{5}$．

点评 本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，记住翻折不变性，属于中考常考题型．